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By Walter Strampp

Dieser Übungsband zur Grundvorlesung research besteht aus drei Komponenten:

- Ein theoretischer Vorspann vor jedem Kapitel enthält die wichtigsten Sätze und Begriffe als Repetitorium.
- Die Aufgaben reichen in drei Stufen von der Einübung über die Festigung eines Begriffes bis zu anwendungsorientierten Problemstellungen.Sie wurden in Lehrveranstaltungen und Klausuren erprobt. Die angegebenen Lösungen sollten als Vorschläge und Hinweise verstanden werden , die oft ergänzt, optimiert und abgekürzt werden können.
- Der Einsatz von Mathematica und Maple ist als Unterstützung für das interaktive Selbststudium gedacht und soll Anregungen und Vorschläge für eigene Experimente geben. Durch den Umgang am Rechner werden die Begriffe der konkreten Anwendung zugänglich gemacht.

Die Aufgabenstellungen sowie die Mathematica- und Maple-Rechnungen werden ins web gestellt, so daß die Benutzer leicht zu jeder Aufgabe die entsprechenden Computerrechnungen auffinden und ergänzen können. In der Kombination aus Buch und web entsteht somit ein flexibles, modernes Lernmittel zur Wiederholung und Einübung des Stoffs von zentralen Gebieten der Analysis.

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Example text

B < a; ergibt sich dann: Wir kiinnen die Rekursionsvorschrift auch schreiben als: an = 1 -2 (a n- 1 + _b_), an-l aO = b. v'b + v'b2 ~ 34 2 FoJgen • 1. 25 Mathematica: Die Folge wird in Abhangigkeit von n definiert (mit einem Unterstrich n_). a[OI = b; a[n_1 := ~ (a[n - 4(1 + + a[n ~ IJ) Together[a(3)] Together[a(2)] 1 + 6b II 1 + 28b + 70b 2 + 28b 3 + b 4 8(1 + b) (1 + 6b + b 2 ) b2 + b) Together[ a[ 4)] (1 proc + 120b + 1820b2 + 8008b 3 + 12870b4 + 8008bs + 1820b6 + l20P + b 8 ) / (16(1 + b) (1 + 6b + b 2 )(1 + 28b + 70b 2 + 28b 3 + b 4 )) Maple: Zur Definition der Foige in Abhangigkeit von n wird mit Proc gearbeitet.

Gibt, so daB Ian I ::: SB fUr aile n gilt. ". Besehrankte Folge ----~+--. Foigen, die stets anwachsen oder stets fallen heil3en monoton. Monotone Folge Eine Foige {an} heiBt monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn fur aile n gilt: an ::: a n+ 1 bzw. an ::: an+ I. Eine Folge {an} hejBt streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend, wenn fur aile n gilt: an < all+1 bzw. all > an+1. ,~ -1 _ . 1 Man untersuche die Foigen schriinktheit und Monotonie: (a) an =~. (b) an = (all}~1 auf Be- (d) an =cos(nf).

00, wenn es zu jedem E > 0 ein n f E N gibt, so daB fur aBe n > nf gilt: an < - E bzw. a" > E. Man schreibt: lim an = -00 bzw. lim a" = +00 . n ..... OO n ...... oo Konvergenz gegen -00 bzw. +00 38 2 Foigen • E , • , ,~ , I Konvergenz einer Folge gegen ±oo. Folgenglieder mit Indizes n > nE liegen rechts von E bzw. links von -E ~ -E Aus der Konvergenz foIgt stets die Beschranktheit: Beschranktheit konvergenter FoJgen Jede gegen einen Grenzwert a E IR konvergente Foige {an} ist beschrankt. 5 Mit dem Grenzwertbegriff umgehen Gegeben seien die Foigen: (a) an = ~, (b) an (-I)" = 2n+1 ' (c) an = 3nn_2 - ~.

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