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By Andreas Gathmann

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Da wir uns dennoch schon seit Beginn dieser Vorlesung mit allgemeinen Gruppen beschäftigen, werdet ihr euch schon denken können, dass die Situation bei Gruppen hier nicht ganz so einfach ist. In der Tat wäre eine solche „Liste aller Gruppen“ so lang und kompliziert, dass man mit ihr eigentlich kaum noch etwas anfangen könnte. Wir können aber mit Hilfe des Homomorphiesatzes ein einfaches, aber dennoch verblüffendes Resultat in dieser Richtung zeigen: wenn wir eine endliche Gruppe G haben, deren Ordnung eine Primzahl p ist, so muss G bereits isomorph zu Z p sein.

Hätten wir für die erste Nebenklasse id jedoch den zweiten Repräsentanten gewählt, so hätten wir als Ergebnis id ◦ σ1 = 1 2 3 2 1 3 ◦ 1 2 3 2 3 1 = 1 2 3 1 3 2 = σ2 erhalten, also nicht das gleiche wie vorher! Die Verknüpfung auf der Menge der Nebenklassen ist hier also nicht wohldefiniert. Wir wollen diese Situation nun klären und herausfinden, in welchen Fällen die Gruppenverknüpfung in G auf eine in G/U übertragen werden kann. Die Eigenschaft von U, die wir hierfür benötigen, ist die folgende.

5 (c) sehen, dass dies der einzige Ring ist, in dem 1 = 0 gilt — wir müssen uns also über diese etwas merkwürdig aussehende Gleichung nicht allzu viele Gedanken machen. Wie im Fall von Gruppen sollten wir als Erstes die wichtigsten Rechenregeln in Ringen auflisten. Einige davon ergeben sich sofort daraus, dass ein Ring R mit der Addition eine abelsche Gruppe ist — so ist z. B. 10). Derartige Regeln brauchen wir natürlich hier nicht noch einmal zu beweisen. 5 (Rechenregeln in Ringen). In jedem Ring R gilt: 7.

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